大域的最適化問題のためのアメリカのゼブラ最適化アルゴリズム

Scientific Reports volume 13、記事番号: 5211 (2023) この記事を引用

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この研究では、野生のアメリカシマウマの社会的行動を模倣する、生物にヒントを得た新しいメタヒューリスティックアルゴリズム、すなわちアメリカシマウマ最適化アルゴリズム（AZOA）が提案されています。アメリカシマウマは、独特で魅力的な社会的性格と、赤ちゃんシマウマが成熟する前に群れを離れ、家族の絆のない別の群れに加わるよう導くリーダーシップの行使によって、他の哺乳類とは区別されます。赤ちゃんシマウマのこの出発は、家族内交配を防ぐことによって多様化を促進します。さらに、アメリカシマウマでは、群れの速度と方向を指示するリーダーシップの行使によって、収束が確実に行われます。アメリカシマウマのこの社会的ライフスタイル行動は本質的に先住民族のものであり、AZOA メタヒューリスティックアルゴリズムを提案するための主なインスピレーションです。 AZOA アルゴリズムの効率を調べるために、CEC-2005、CEC-2017、および CEC-2019 ベンチマーク関数が考慮され、いくつかの最先端のメタヒューリスティックアルゴリズムと比較されます。実験結果と統計分析により、AZOA は探索と活用のバランスを保ちながら、ベンチマーク機能を最大化するための最適なソリューションを達成できることが明らかになりました。さらに、AZOA の堅牢性を実証するために、多数の実際の工学問題が採用されています。最後に、AZOA は、今後の高度な CEC ベンチマーク機能やその他の複雑なエンジニアリング問題を圧倒的に達成することが期待されています。

最適化は、コスト関数を最大化または最小化するためにさまざまな制約を維持しながら、決定変数を特定するプロセスです。制約、コスト関数、設計変数は、あらゆる最適化問題の重要な要素です。最適化技術は、エンジニアリング 1、機能選択 2、3、機械学習パラメーターの調整 4、無線センサーネットワーク 5、画像処理 6、およびバイオインフォマティクス 7 の分野に広く適用できます。現実の問題のほとんどは、複数の設計変数の存在と制約の本質的な性質により、非常に非凸で非線形です。さらに、全体的な最適解が得られるという確実性はありません8。これらの現実の問題に関連する課題は、科学者に、より良い結果をもたらす斬新で成功する戦略を設計するよう促すものです。最適化アプローチは、勾配ベースの決定論的アプローチと確率ベースの非伝統的なアプローチなど 2 つのタイプに分類できます9。決定論ベースのアプローチには、不連続な探索空間、非凸、高次元、および微分不可能な目的関数を伴う問題を解決する際に限界があります。ただし、確率ベースの戦略は勾配ベースの情報を実践しません。代わりに、検索空間内のランダムな方法に依存することで制限を克服できるほどインテリジェントです。メタヒューリスティックアルゴリズムは、確率論ベースのアプローチにおけるさまざまな手法の中で、幅広い適用性を備えているため普及しています。メタヒューリスティックアルゴリズムは、ソリューション空間を探索し、最適なソリューションを活用する高い可能性を秘めています。したがって、数人の研究者は、新しいメタヒューリスティックアルゴリズムを提案するだけでなく、既存の方法の効率を高めることも試み、その結果、過去数十年間にいくつかの新しいメタヒューリスティックが考案されました。一般に、メタヒューリスティックアルゴリズムは、進化アルゴリズム (EA)、自然現象 (NP) ベースのアルゴリズム、および群知能 (SI) アルゴリズムなど、3 つの主要なタイプに分類できます10、11。進化アルゴリズム (EA) は、選択、生殖、突然変異という 3 つのメカニズムを使用してダーウィンの進化プロセスを模倣します。最も著名な EA には、差分進化 (DE)12、遺伝的アルゴリズム (GA)13、共分散行列適応進化戦略 (CMA-ES)14、進化戦略 (ES)15、線形集団サイズを持つ履歴ベースの適応 DE バリアントなどがあります。リダクション (L-SHADE)16、生物地理ベースのオプティマイザー (BBO)17、学習者のパフォーマンスに基づく行動 (LPB)18。 NP ベースのアルゴリズムは、宇宙の化学法則と物理法則をエミュレートします。このカテゴリに基づくよく知られたアルゴリズムのほとんどは、シミュレーテッドアニーリング (SA)19、中心力最適化 (CFO)20、重力探索アルゴリズム (GSA)21、水循環オプティマイザー (WCO)22、ブラックホールアルゴリズム (BHA)23 です。、Lightning Search Algorithm (LSA)24、Multi-Verse Optimization (MVO)25、Thermal Exchange Optimization (TEO)11、Henry Gas Solubility Optimization26、Equilibrium Optimizer (EO)27、Archimedes Optimization Algorithm (AOA)28、Lichtenberg Algorithm (LA) )29、流れ方向アルゴリズム (FDA)30、核融合最適化 (FuFiO)31。 Swarm Intelligence (SI) アルゴリズムは、哺乳類、鳥類、昆虫の自然な行動に従います。一般的な SI ベースのアルゴリズムのほとんどは、Particle Swarm Optimizer (PSO) アルゴリズム 32、Gray Wolf Optimizer (GWO) 33、Elephant Herding Optimization (EHO) 34、Moth Flame Optimization (MFO) 35、Whale Optimization Algorithm (WOA) 36、Salp です。群アルゴリズム (SSA)37、グラスホッパーオプティマイザーアルゴリズム (GOA)38、ハリスホークス最適化 (HHO)39、即興競争群オプティマイザー (ICSO)40、単嚢群アルゴリズム (TSA)41、徴収飛行分配 (LFD)10、およびアメリカハゲワシ最適化アルゴリズム (AVOA)42、アクイラオプティマイザー (AO)43、イヌワシオプティマイザー (GEO)44、シャチ捕食アルゴリズム (OPA)45、人工ウサギ最適化 (ARO)46、人工ゴリラ部隊オプティマイザー (GTO)47、 Mountain Gazelle Optimizer (MGO)48. 既存のメタヒューリスティック 49 には利点と限界があることを強調しておきます。たとえば、古典的な PSO アルゴリズムには高次元の探索空間での早期収束という弱点がありますが、遺伝的アルゴリズムにはパラメーターの調整と大規模な計算に困難があります。同様に、重力探索アルゴリズムには、収束速度が遅いことと、多くの制御パラメーターが存在するという欠点があります。著名な GWO アルゴリズムは、ローカル検索能力が低いため、難しいエンジニアリング問題に取り組むことが困難です。また、最近提案された TSA アルゴリズムは、次元の大きなマルチモーダル問題に対処することができません。したがって、新しい技術や方法論を適応させて、これらの制限に挑戦することが不可欠です。さらに、「ノーフリーランチ (NFL) 定理」50 では、あらゆる最適化問題に対して最適なオプティマイザーとみなせるアルゴリズムは存在しないと述べています。未解決の問題についても、解決策を得るには希少なアプローチが必要です。その結果、先駆的なメタヒューリスティックが世界中の研究者によって頻繁に提供されることが必要となります。したがって、この論文では、アメリカシマウマの社会的行動に触発された新しいメタヒューリスティック、すなわちアメリカシマウマ最適化アルゴリズム (AZOA) が計画されています。アメリカシマウマは、1 頭のオス、数頭のメス、および子供と群れを作る社会的に熟達した動物です51。シマウマの主な行動には、餌を食べること、交尾、社会的階層を維持すること、そして若いシマウマを導くことが含まれます52,53。アメリカシマウマは、その独特で魅力的な性格「正直さ」によって他の哺乳類と区別されます。「正直さ」という社会的性格により、シマウマの赤ちゃんは成熟する前に群れを離れ、家族関係のない別の群れに加わることになります。赤ちゃんシマウマのこの出発は、家族内交配を防ぐことで多様化のバランスをとります。さらに、群れの中で成熟したオスのシマウマがメスのシマウマを魅了して収束を説得します。社会的調和というこの最も希少な概念は、American Zebra Optimization Algorithm (AZOA) を提案するきっかけとなっています。 AZOA アルゴリズムの容易さと堅牢性により、ベンチマーク機能や現実のエンジニアリング問題を解決しながら、迅速かつ正確なグローバルソリューションが推進されることが期待されています。この研究の主な貢献は次のとおりです。

アメリカシマウマ最適化アルゴリズム (AZOA) という、生物にインスピレーションを得た新しいアルゴリズムが提案され、アメリカシマウマの独特の社会行動とリーダーシップの発揮からインスピレーションを得ています。

AZOA のさまざまな社会的行動は、簡単な実装と優れたパフォーマンスを実現するために、5 つの単純なフェーズで数学的に導入およびモデル化されています。

AZOA は、提案されたアルゴリズムの堅牢性を確保するために、CEC-2005、CEC-2017、および CEC-2019 ベンチマークテスト機能といくつかのエンジニアリング設計上の問題で実装およびテストされています。

この論文の残りの部分は次のように構成されています。関連作品のレビューが2件あります。セクション 3 では、提案された研究の動機と数学的モデリングについて説明します。セクション 4 では、実験のセットアップと結果の考察を示します。セクション 5 では、古典的な工学問題への AZOA の適用に焦点を当てます。最後に、セクション。 6 では、将来の研究活動に対する結論と推奨事項を示します。

文献では、メタヒューリスティックアルゴリズムはさまざまなカテゴリに分類されています。明確な分類にもかかわらず、これらのアルゴリズムの大部分は、野生動物の集団行動や狩猟技術からインスピレーションを得ていると主張することもできます。このセクションでは、自然からインスピレーションを得たメタヒューリスティックアルゴリズムを考察し、最適化問題を解決するために提案されている基本的なアルゴリズムを研究します。遺伝的アルゴリズム (GA) は、ダーウィンの進化論原理に動機づけられて 1992 年に Holland が提案した、最適化問題に対処するための最も初期かつ最も広く使用されているアプローチです。このアルゴリズムは、2 つの組換えおよび突然変異オペレーターを含む最適化問題の大部分で広く使用されており、最も人気のあるアルゴリズムの 1 つとみなされており 54、すでに多数の拡張および組換えバリアントが説明されています 55。粒子群最適化 (PSO) は、自然界の鳥、魚、その他の動物の群れ行動に基づいて 1995 年に提案されました 32。これは、計算知能、設計、計画アプリケーションなど、ほぼすべての最適化分野で実装されています。ただし、多くの研究者は、PSO アルゴリズムのパフォーマンスを向上させるために、依然として多数のバリアントを提案しています。ダイバーシティ精度を改善し、PSO の低い局所最適を回避するために、Zaman ら 56 は、PSOBSA と呼ばれる BSA を備えた改良型 PSO を提案しました。農地肥沃度アルゴリズム (FFA)57 は、進行中の問題に取り組むために開発されました。これは、農地が多くのセクションに分割されており、各セクターのソリューションが内部メモリと外部メモリの両方で最適な効率を実現するように最適化されているという事実によって動機づけられました。シミュレーションの結果から、農地の肥沃度は他のメタヒューリスティックアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを発揮することが多いことが明らかになりました。参考文献 58 では、Farhad Soleimanian Gharehchopogh et al. TSP 問題に対処するために FFA を適用できるように強化しました。訪問を通じて農場のあらゆる部分の品質を測定し、肥料や有機材料を使用して土壌の品質を向上させます。 Harris Hawks Optimizer (HHO) はよく知られた動物行動ベースのアルゴリズムです。奇襲攻撃として知られる、自然界におけるハリスタカの協力的な行動と追跡スタイルが、HHO59 の主なインスピレーションです。カウルら。 TSA アルゴリズムは、海での被嚢動物のライフスタイルと、Satnam41 による食料の配達方法を再現することによって動機づけられていると発表しました。さらに、エンジニアリング最適化問題に対する最新のメタヒューリスティックアルゴリズムの 1 つとみなされています。被嚢動物は、その場所を知りませんが、食物源を探して探索することができます。 TSA アルゴリズムはシンプルでうまく機能しますが、局所的な最適化にはまりやすく、そのため一部のメタヒューリスティックアルゴリズムよりも収束が速くなります。そこで、Farhad Soleimanian Gharehchopogh60 は、これらの問題に対処するために、QLGCTSA アルゴリズムと呼ばれるこのアルゴリズムのバージョンを導入しました。 Li ら 61 は、粘菌の拡散と採餌行動を模倣する粘菌アルゴリズム (SMA) を提案しました。これには、多数の新機能と、適応重みを使用して生体波をシミュレートする特別な数学モデルが備わっています。探索と開発のための高い能力を備えた食物を結び付けるための最適なルートを提供します。結果は、提案された SMA がさまざまな検索状況において競争力があり、しばしば優れたパフォーマンスを発揮することを示しています。 Tree-Seed アルゴリズム (TSA) は、継続的最適化問題を解決するために 2015 年に Kiran によって提案され、自然界の木と種子の関係、および木の種子がどのように成長して配置されるかにインスピレーションを受けています62。 Xue et al.63 は、スズメの集団知恵、採餌行動、および対捕食行動に基づいたスズメ探索アルゴリズム (SSA) を提案しました。カッコー検索 (CS) アルゴリズムは、2009 年に Xin-She Yang と Suash Deb によって提案され、特定のカッコウ種の攻撃的な雛寄生と産卵行動に触発されました 64。ただし、CS アルゴリズムには、早期の収束、遅延した収束、ローカルトラップに陥るなどの問題があります。この問題を克服するために、Shishavan、Saeid Talebpour ら 65 は、複雑なネットワークにおけるコミュニティ検出のための遺伝的アルゴリズム (GA) を備えた改良されたカッコウ検索最適化 (CSO) アルゴリズムを提案しました。 Symbiotic Organisms Search (SOS)66 は、生物が生態系内で生存し繁殖するために採用する共生相互作用戦略に触発された、新しく堅牢かつ強力なメタヒューリスティックアルゴリズムです。参考文献 67 では、Hekmat Mohammadzadeh et al. 電子メールスパム検出のためのバイナリ共生生物検索アルゴリズムを使用した機能選択を導入しました。

この記事には、著者らによって行われた人間の参加者または動物を対象とした研究は含まれていません。

このセクションでは、数学的定式化とともにAZOAアルゴリズムを提案する際のアメリカシマウマの社会生活スタイルのインスピレーションに焦点を当てます。

アメリカシマウマは、白と黒の縞模様の毛皮を持つウマ科に属します。彼らはアメリカ南東部全域に生息しており、低木地帯、平原、森林、丘陵地帯などの環境で見られます。アメリカシマウマの縞模様は、個体ごとに異なる形で現れます。アメリカシマウマは、体長約 7.5 フィート、肩の高さ 4 フィート、体重 600 ポンドで、優れた視力、強い聴力、そして時速 40 マイルの速度で走る能力を持っています。シマウマは社会的本能を持つ動物で、図 1 に示すように、オスのシマウマ、数頭のメス、子どもからなる家族グループで生活します。群れで時間を過ごし、お互いに毛づくろいをし、新鮮な草を得るために放牧します。図2に示すように、家族のリーダーである種牡馬です。シマウマは社会的制限を厳密に守り、家族の一員と交尾しません。成熟した牡馬シマウマは、適切な交配相手を見つけるために単一のグループで生活しますが、メスの子馬は他のグループに加わります。オスのシマウマは、繁殖できる年齢になると単独のグループに加わりますが、メスのシマウマは思春期に達する前に親のグループから離れます。このグループから離れるプロセスにより、AZOA に必要な多様性を確保するために親シマウマが子孫と繁殖することができなくなります。同様に、アメリカシマウマでは、グループの速度と方向を指示するリーダーシップの行使により、収束が保証されます68。グループは、種牡馬グループのリーダーによって、利用可能な最良の貯水池に案内されなければなりません。この種牡馬は、グループのメンバーに水源を利用させることで、他のシマウマのグループを支配します。シマウマのこの社会的ライフスタイルは本質的に固有のものであり、メタヒューリスティック手法を提案するのに非常に有益です。したがって、このインスピレーション源に基づいて、グローバル最適化の課題を達成するために、AZOA と呼ばれる新しいメタヒューリスティックアルゴリズムがその数学的定式化とともに開発されています。

家族グループのアメリカシマウマ。

家族のリーダー（種牡馬）の周りを放牧します。

このセクションでは、AZOA アルゴリズムを提案する際のアメリカシマウマの社会生活行動の数学的モデリングを示します。アメリカシマウマの生命活動は、次の 5 つの主要な段階で構成されています。

フェーズ 1: ランダムなゼブラグループの形成

フェーズ 2: アメリカシマウマの摂食活動

フェーズ3：アメリカシマウマの繁殖活動

フェーズ 4: グループのリーダーシップ

フェーズ 5: 新しいリーダーを選択するリーダーシップ移行段階

野生では、シマウマはグループリーダーの種牡馬に従って、いくつかの異なるグループに分かれて生活しており、それが個体群全体を複数のグループに分けているようです。ここで、「P」という表記は、母集団全体「S」における種牡馬確率を表し、グループの総数「N」は式\(N=S*P\)によって計算されます。 \({j}\) 番目のグループ内の \({i}\) 番目のシマウマの位置 \({(Z}_{i,j\in N}=\left\{{Z}_{ij1}, \(n\) 次元の検索空間の {Z}_{ij2}, {Z}_{ij3},....,{Z}_{ijn}\right\})\) は、次の式を使用して計算されます。式 \({Z}_{i,j}={(Z}_{max}-{Z}_{min})rand+{Z}_{min}\)。ここで、探索範囲の上極点と下極点はそれぞれ \({Z}_{max}\) と \({Z}_{min}\) で定義されます。記号「\(rand\)」は、[0, 1] の間のランダムな値を示します。このメカニズムにより、\(N\) 個の異なるシマウマの群れが各グループに固有の種牡馬を持つことが保証されます。ゼブラグループの分割サンプル画像を図3に示します。

元の集団からのグループの形成。

シマウマは草食動物であり、主にさまざまな草や緑の葉に依存しています。若いシマウマにとって新鮮な草や緑の葉を手に入れるのは非常に難しいため、家族のリーダーに依存します。したがって、シマウマは常に一緒に草を食べ、家族のリーダーである種牡馬の周りを移動します。アメリカシマウマの摂食活動を数学的にモデル化するために、次の方程式が提案されています。

ここで、 \({Z}_{S}^{j}\) と \({Z}_{i,}^{j}\) は、種牡馬と \({i}\) 番目のシマウマの位置を表します。 \({j}\) 番目のグループ、\({N}_{j}\) は \({j}\) 番目のグループのメンバーの合計を表します、\({R}_{1}\ ) は、グループのリーダーの周囲 360 度の複数の角度でシマウマの摂食を誘発する [− 2, 2] の間の一様なランダム値を示します。 \({R}_{2}\) は次によって評価される適応パラメータを示します。方程式 (3)、\({R}_{3}\) は [0, 1] にあるランダムな値を示します。\(\mathrm{Sin}\) と \(\mathrm{Cos}\) 関数は、他の \({i}\) 番目のメンバーが家族のリーダーの周囲で複数の角度から移動する 69、\({\overline{Z} }_{i}^{j}\) は新しい更新 \({i}\給餌中の) 番目のメンバーの位置、最後に \({\overline{F} }_{i}^{j}\) は \({i}\) 番目のシマウマの適応度値です。

ここで、 \(T\) と \(t\) はそれぞれ最大反復と現在の反復を示します。

食物連鎖の適切なバランスには、馬、牛、ロバ、シマウマなど、食物連鎖の末端に位置する動物が豊富に存在することが不可欠です。したがって、これらの動物は大量に繁殖します。これらの動物の中で、シマウマの行動はまったく異なり、家族の尊厳を保ちます。彼らは親や兄弟と一緒に繁殖しません。したがって、若いシマウマは成人になる前に家族を離れ、繁殖のために別のシマウマの家族に加わります。このメカニズムは、3 つの異なるゼブラグループを考慮して図 4 にグラフで示されています。ここで、\({i}\) 番目のグループの赤ちゃんシマウマには、新しい家族を選択する 2 つの方法があります。つまり、赤ちゃんシマウマは \({j}\) 番目のグループまたは \({k}\) 番目のグループに移動できます。同様に、各グループの他の赤ちゃんシマウマは、あたかも自分の兄弟や姉妹が誰もそこにいなかったかのように、そのような新しいグループを選択することになります。これらの赤ちゃんシマウマは、新しいグループに家族の絆がないため、何の制限もなく繁殖します。したがって、 \(j\) と \(k\) の赤ちゃんシマウマは他のグループを識別し、そこで繁殖します。このプロセスでは、家族全体の品位が維持され、AZOA アルゴリズムの多様性を維持するのに役立ちます。シマウマの繁殖活動をモデル化するために、次の方程式が開発されました。

ここで、 \({Z}_{i}^{a}\) は \({i}\) 番目のグループの赤ちゃんシマウマ \(a\) の位置を表します、 \({Z}_{j}^{b }\) は \({j}\) 番目のグループのシマウマ \(b\) の位置を示し、\({Z}_{k}^{c}\) は \ からのシマウマ \(c\) の位置を示します。 ({k}\) 番目のグループ、\({Z}_{j}^{q}\) と \({Z}_{k}^{q}\) はシマウマ \(q\ ) それぞれ \({j}\) 番目のグループと \({k}\) 番目のグループに属します。

アメリカシマウマの繁殖活動。

シマウマは家族のリーダーを非常に重要視します。家族のリーダーは、彼らのために緑の草原、木の葉、水域を探します。リーダーは他のライバルシマウマとよく戦い、家族においしい食べ物と飲み物を提供します。シマウマのグループは他のグループよりも強いため、貯水池と草原に対する権利を保持します。その後、他の人がそれを利用できるようになります。このアプローチは、次の方程式を使用してモデル化されます。

ここで、\({R}_{4}\) は [− 2, 2] にある一様乱数を表し、\({R}_{5}\) は式 (1) で決定される適応パラメータを表します。 (8)、\({R}_{6}\) は [0, 1] にある一様乱数を表します、\(WR\) は貯水量を表します、\({Z}_{S}^{j} \) は \(j\) 番目のグループリーダースタリオンの現在の位置、\({\overline{Z} }_{S}^{j}\) は \(j\) 番目のグループリーダースタリオンの次の位置、そして\({\overline{F} }_{S}^{j}\) は、\(j\) 番目のグループの種牡馬の適応度値です。

グループが適切な方法で規律を維持し、利用可能な食料源を手配できるように、グループには強力なグループリーダーがいることが非常に必要です。何らかの状況でグループのリーダーが弱くなったら、リーダーを変えることが不可欠です。次の公式は、新しいリーダーを選択するためのリーダーシップ移行段階をモデル化するために開発されました。

ここで \({Z}_{S}^{j}\) は \(j\) 番目のグループリーダーの種牡馬の現在位置を表し、\(F( {Z}_{S}^{j})\) はリーダー種牡馬の体力値。

American zebra 最適化アルゴリズムの擬似コードとフローチャートを、それぞれアルゴリズム 1 と図 5 に示します。

提案された AZOA アルゴリズムのフローチャート。

AZOA の実行時の複雑さは、初期化、適応度値の評価、個体の更新という 3 つの手順に依存します。 \(M\) 個の個体による初期プロセスの計算量は O \((M)\) で、メカニズムの更新は O (\(T*M\)) + O (\(T*M*d\ )) ここで、 \(T\) は最大反復回数を表し、 \(d\) は特定の問題の次元を表します。したがって、AZOA の実行時間の合計複雑さは O (\(M*\)(\(T+Td+1\))) となり、これは他のオプティマイザーと同様です。

このセクションでは、PSO、GWO、GSA、SSA、MVO、TSA、LFD などの他のメタヒューリスティックと比較しながら、新しく提案された AZOA アルゴリズムの効率を調べるためにいくつかの実験を行います。ここでは、CEC-200570、CEC-201771、および CEC-201972 という 3 つの著名なテストスーツが、実験で達成すべき 3 つの工学的問題とともに使用されています。さらに、\(t\) テスト 73 や Wilcoxon 順位和テスト 74 などのいくつかの統計テストが、アルゴリズムのパフォーマンスを分析するために実行されます。ベンチマーク機能のテストでは、検索エージェントと機能評価 (NFE) の数がそれぞれ 30 と 15,000 に設定されます。すべてのアルゴリズムの初期制御パラメーターを表 4 に示します。すべての実験は、Windows 10、1.70 GHz CPU、8.00 GB RAM、および MATLAB R2021a95 で実行されました。各ベンチマークテストスイートでの AZOA アルゴリズムのパフォーマンスの詳細については、次のサブセクションで説明します。

CEC-2005 は、計算知能の研究者向けの標準テストスイートです。 ace テストスイートには 23 のベンチマーク関数が含まれており、ユニモーダル (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}7\))、マルチモーダル (\(\mathrm{F) の 3 つのグループに分類できます。 }8{-}\mathrm{F}13\))、および固定次元マルチモーダル関数 (\(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}23\)) です。全ベンチマーク関数のリストとそのパラメーターを表 1、2、および 3 に示します。一般に、すべての最適化アルゴリズムには、探索と活用の 2 つのフェーズがあります。ユニモーダルテスト関数は、アルゴリズムの活用能力の評価を支援する独自のグローバル最適ソリューションで構成されます。ただし、マルチモーダル関数と固定次元マルチモーダル関数には、アルゴリズムの探索能力のテストに役立つ複数の最適点が含まれています。平均 \((avg)\) と標準偏差 \((std)\) という 2 つの評価基準は、次の式を使用して決定されます。

ここで、 \({x}_{i}\) は \(i\) 回目の実行から得られた最良の解を表し、 \(R\) は 30 回の独立した実行を表します。

統計パラメータ \(avg\) と \(std\) は、アルゴリズムのパフォーマンスを定量化します。 \(avg\) の値が小さいほど、全体最適に近い解を得るアルゴリズムの能力が高くなります。 2 つのアルゴリズムの \(avg\) 値が同じであっても、全体最適値を求めるパフォーマンスは世代ごとに異なる可能性があります。その結果、より正確な比較を確立するために \(std\) が使用されます。結果のばらつきを小さくするには、 \(std\) の値を低くする必要があります。 AZOA の平均と標準偏差に関する統計結果と比較したアルゴリズムを表 5 に示します。表 5 は、AZOA が \(\mathrm{F}6\) を除くすべての単峰関数で他の比較したアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを示していることを示しています。搾取能力において。マルチモーダル関数の結果は、AZOA が探索能力の点で他のメタヒューリスティックを上回ることができることを示しています。一方、GSA と PSO は、それぞれ関数 \(\mathrm{F}8\) と \(\mathrm{F}13\) に対して素晴らしいパフォーマンスを示しました。固定次元関数とマルチモーダル関数の結果は、AZOA が \(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}16\) と \(\mathrm{F}20{-}\mathrm) の最適化においてより効果的に実行されることを示しています。 {F}23\)。ただし、これらの結果は、アルゴリズム間の統計的有意性を確認するためにさらにテストする必要があります。したがって、提案されたアルゴリズムの大幅な強化を示すには、 \(t\) 検定や \(\alpha\) = 0.05% 有意水準でのウィルコクソン順位和検定などの命令型統計検定が必要です。 \({avg}_{1}\)、\({avg}_{2}\)、および \({std}_{1}\)、\({std}_{2}\) を2 つのアルゴリズムのそれぞれの平均と標準偏差。各関数の \(\alpha\) = 0.05% での \(t\) 検定の結果を表 5 に示します。これらは式 1 で計算されます。 (12)。提案されたAZOAアルゴリズムの感度分析は図6で実行されます。

パラメータ PC および SP に対する提案された AZOA アルゴリズムの感度分析。

対応する \(t\) 値が太字で示されている場合、AZOA は他のアルゴリズムと比較してパフォーマンスが大幅に優れています。同点の場合、結果は太字の斜体で表示されます。さらに、\(w/t/l\) とラベル付けされた各表の最後の行は、\(t\) 値の観点から、特定のアルゴリズムにおける AZOA の勝ち、引き分け、および負けの数を示します。 \(t\) 値から明らかに、AZOA のパフォーマンスはほとんどの場合で統計的に有意な差があることが観察されます。 \(\alpha\) = 0.05% 有意水準での AZOA のウィルコクソン順位和検定の結果を表 6 に示します。ここで、\(\mathrm{H}=\) \(1\) および \(\ mathrm{H }= 0\) はそれぞれ受け入れと拒否を示し、\(Na\) は 2 つのアルゴリズムの同等の最適値を示します。表 6 から、ほとんどの \(p\) 値が 0.05 より小さいことがわかります。これは、AZOA アルゴリズムが他のメタヒューリスティックと比較して優れたパフォーマンスを発揮することを明確に示しています。統計的テストの後、アルゴリズムの収束グラフを確認する必要があります。収束解析の主な目的は、提案された AZOA アルゴリズムの動作とグラフィック表現を理解することです。したがって、いくつかのテスト関数のアルゴリズムの収束曲線を図 7 に示します。収束曲線からわかるように、関数 \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}4\) で提案されたアルゴリズムは次のようになります。特定の滑らかなパターンに従い、活用がより強調されます。関数 \(\mathrm{F}8\)、\(\mathrm{F}9\)、\(\mathrm{F}11\)、および \(\mathrm{F}22\) では、提案されたアルゴリズム多くの最適点がある別のパターンに従います。アルゴリズムの初期段階で実行される探索フェーズに重点を置いています。ただし、アルゴリズムの最後のフェーズ (通常は活用フェーズ) では、AZOA は関数 \(\mathrm{F}10\) と \(\mathrm{F}12\) に対して段階的に実行しました。関数 \(\mathrm{F}14\)、\(\mathrm{F}15\)、\(\mathrm{F}20\)、および \(\mathrm{F}23\) では、提案されたアルゴリズム同等の収束を達成します。その結果、AZOA はほぼすべての関数で優れた収束パターンを示します。最適化手法のパフォーマンスをさらに分析してグラフで比較するために、各メタヒューリスティック関数と目的関数のウィスカーボックスプロット 75 を図 8 に表示します。中央のボックスは、第 1 四分位数と第 3 四分位数の間の値を表し、黒い線はは中央値を表します。図 8 から、AZOA が他の最先端のメタヒューリスティックよりも優れたパフォーマンスを発揮することがわかります。また、AZOA がコンポーネントの活用および探索プロセスにおいて優れたパフォーマンスと優れた収束能力を備えていることも示しています。要約すると、CEC-2005 でのアルゴリズムのパフォーマンスの結果と分析に応じて、提案された AZOA アルゴリズムは、ほとんどのテスト関数に対して優れたソリューションを取得でき、他のメタヒューリスティックよりも静的に大幅に優れた結果を生成します。

CEC-2005 ベンチマーク関数を解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2005 ベンチマークを解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの箱ひげ図。

提案されたアルゴリズム、すなわち AZOA は、パラメータ PC (交雑の確率) とパラメータ SP (種牡馬の確率またはグループの数) の 2 つのパラメータを使用します。これらのパラメータの感度分析は、表 4 に示すように、他のパラメータを一定に保ちながら値を変更することで説明されています。

パラメーター PC の影響を調べるために、他のパラメーターを一定に保ちながら、PC のさまざまな値に対して AZOA アルゴリズムが実行されました。実験でテストされた PC のさまざまな値は、0.1、0.2、0.3、0.4、および 0.5 です。標準ベンチマーク関数における PC の変化を図 6(i) に示します。結果は、PC の値が 0.1 に設定されている場合、AZOA がより最適な結果を生み出すことを示しています (表 5、6)。

パラメータ SP の影響を調べるために、他のパラメータを一定に保ちながら、SP のさまざまな値に対して AZOA アルゴリズムが実行されました。実験でテストされた PC のさまざまな値は、0.1、0.2、0.3、0.4、および 0.5 です。標準ベンチマーク関数における SP の変化を図 6(ii) に示します。結果は、SP の値が 0.1 に設定されている場合、AZOA がより最適な結果を生み出すことを示しています。

このセクションでは、CEC-2017 テストスイートの機能を使用して、新しく提案された AZOA の効率と容量を評価します。テストスイートには 30 個の関数が含まれていますが、関数 \(\mathrm{F}2\) はシミュレーションが難しいため除外されています。 CEC-2017 関数は、単峰性 (\(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}3\))、多峰性 (\(\mathrm{F}4{-}\mathrm) の 4 つのグループに分類されます。 {F}10\))、ハイブリッド (\(\mathrm{F}11{-}\mathrm{F}20\))、複合 (\(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}) 30\))。ハイブリッド関数と複合関数は、アルゴリズムの探索と活用の間のトレードオフバランスを研究するために使用されている動的検索スペースを備えた、より困難な最適化関数を反映しています。このテスト関数では、次元は \(10\) に固定されており、すべてのアルゴリズムの実行時間は 30 回、500 世代とみなされ、合計 150,000 回の数値関数評価 (NFE) が実行されます。 CEC-2017 目的関数に関する AZOA の統計結果を表 7 に示します。最良の結果は太字で強調表示されています。表 7 は、提案されたアルゴリズムが単峰性問題と多峰性問題に対して良好なパフォーマンスを示し、さらに全体的な最適解を継続的に特定する能力を備えていることを示しています。また、ハイブリッド関数に関する他の既存のアルゴリズムと比較して、AZOA アルゴリズムが良好なパフォーマンスを示していることも示しています。さらに、CEC-2017 機能の 4 番目のグループの結果は、AZOA が構成機能において競争力のある結果を生み出していることを示しています。ただし、 \(ave\) と \(std\) の値に基づいてメタヒューリスティックアルゴリズムを比較することは決定的ではありません。したがって、AZOA の有意差を示すために、 \(t\) 検定と Wilcoxon 順位和検定、および \(\alpha\) = 0.05% の有意水準が提示されます。 \(t\) 検定による \(\alpha\) = 0.05% の有意水準での \(t\) 値を表 7 に示し、比較したアルゴリズムに関して AZOA に有意差が存在することを確認します。対応する \(t\) 値が太字で示されている場合、AZOA は他のアルゴリズムと比較してパフォーマンスが大幅に優れています。同点の場合、結果は太字の斜体で表示されます。さらに、表 7 の最後の行には \(w/t/l\) というラベルが付けられており、\(t\) 値の観点から特定のアルゴリズムにおける AZOA の勝ち、引き分け、負けの回数を示しています。表 7 から明らかなように、AZOA には他のアルゴリズムと比べて大きな違いがあることがわかります。ウィルコクソン順位和検定による \(\alpha\) = 0.05% 有意水準での \(p\) 値を、それぞれ単峰関数、多峰関数、および固定小数点多峰関数について表 8 に示します。これらの表は、 \(p\) の値が 0.05 未満であることを示しています。これは、アメリカのゼブラアルゴリズムが他のメタヒューリスティックアルゴリズムと比較してパフォーマンスが優れていることを明確に示しています。実装されたアルゴリズムの収束グラフを図 9 に示します。これらすべての曲線を見ると、AZOA が関数 \(\mathrm{F}1\)、\(\mathrm{ F}10\)、\(\mathrm{F}12\)、\(\mathrm{F}13\)、\(\mathrm{F}15\)、\(\mathrm{F}18\)、 \(\mathrm{F}19\)、\(\mathrm{F}30\)、および関数 \(\mathrm{F}3\)、\(\mathrm{F}4\) の同等の収束、\(\mathrm{F}11\)、\(\mathrm{F}14\)、\(\mathrm{F}15\)。この観察の結果、AZOA は信頼できるアルゴリズムの 1 つとみなされる可能性があります。図 10 では、関数 \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\) を解く際のメタヒューリスティックアルゴリズムと提案された AZOA のパフォーマンスが箱ひげ図として示されています。ほとんどの \(\mathrm{F}1{-}\mathrm{F}30\) 関数の最適化において、この箱ひげ図の研究は、AZOA が競合他社のメタヒューリスティックアルゴリズムよりも幅が狭く、中心がより効率的であることを示しています。これは、AZOA が複数の実装でほぼ同一のソリューションを提供していることを示唆しています。その結果、AZOA は最適な課題に対してより効果的なソリューションを提供できます。 CEC-2017 の最適化結果を分析すると、AZOA のパフォーマンスが 7 つの比較されたアルゴリズムよりも優れていることが実証されました。

CEC-2017 ベンチマーク関数を解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2017 ベンチマーク関数を解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの箱ひげ図。

このサブセクションでは、新しく提案された CEC-2019 ベンチマーク関数を使用して、比較されたアルゴリズムのパフォーマンスを計算します。すべてのアルゴリズムで、母集団のサイズは 30、反復回数 500 回、関数評価最大 15,000 回と見なされます。その結果は、前のパートで使用されたのと同じアルゴリズムと比較されます。 \(avg\) や \(std\) などの統計結果を表 9 に示します。 \(avg\) の値によれば、表 9 の結果は、新しいアルゴリズムが次のベンチマーク関数を解く際に優れたパフォーマンスを示していることを示しています。別のアルゴリズムとの比較。アルゴリズム間の有意差を確認するために、 \(\alpha\) = 0.05% 有意水準での \(t\) 値を表 9 に示します。表 9 から明らかなように、AZOA には他のアルゴリズムと比べて大きな違いがあることがわかります。 \(\alpha\) = 0.05% 有意での Wilcoxon 順位和検定による \(p\) 値を表 10 に示します。表 10 は、\(p\) 値が 0.05 より小さいことを示しています。これは、アメリカのゼブラ最適化アルゴリズムが他のメタヒューリスティックアルゴリズムと比較して優れたパフォーマンスを発揮していることを明確に示しています。

実装されたアルゴリズムの収束グラフを図 11 に示します。これらの曲線から、AZOA が関数 \(\mathrm{F}1\)、\(\mathrm{F }4\)、\(\mathrm{F}5\)、\(\mathrm{F}7\)、および関数 \(\mathrm{F}2\)、\(\mathrm{ F}3\)、\(\mathrm{F}8\)、\(\mathrm{F}9\)。図 12 では、関数を解くために提案された AZOA とともに比較されたアルゴリズムの箱ひげ図が箱ひげ図として示されています。図 12 から、箱ひげ図の研究は、AZOA が競合他社のメタヒューリスティックアルゴリズムよりも幅が狭く、中心がより効率的であることを示しています。これは、AZOA が複数の実装でほぼ同一のソリューションを提供していることを示しています。その結果、AZOA は最適な課題に対してより効果的なソリューションを提供できるようになります。

CEC-2019 ベンチマーク関数を解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2019 ベンチマーク関数を解く際の AZOA およびその他のメタヒューリスティックの箱ひげ図。

このサブセクションでは、提案された AZOA 手法のパフォーマンスを、農地肥沃度アルゴリズム (FFA)57、マウンテンガゼル最適化 (MGO)48、アフリカハゲワシ最適化アルゴリズム (AVOA)42、および人造ゴリラ部隊オプティマイザー（GTO）47．提案された AZOA 手法とこれら 4 つの最新の優れたアルゴリズムは、CEC-2005、CEC-2017、および CEC-2019 ベンチマーク関数に実装されています。

CEC-2005 ベンチマーク関数のシミュレーション結果を表 11 と表 12 に示します。シミュレーション結果によると、提案された AZOA 手法は、\(\mathrm{F}1 {-}\mathrm{F}4\)、\(\mathrm{F}7\)、\(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\)、\(\mathrm{F} 14{-}\mathrm{F}19\) 関数と \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\) 関数。アルゴリズムの反復中に解を達成する際の AZOA と 4 つの最新の優れたアルゴリズムの収束曲線を図 13 に示します。シミュレーション結果から、提案された方法、つまり高度な活用、探索、およびバランシング機能を備えた AZOA は、次の場合に優れたパフォーマンスを発揮することが明らかになりました。 FFA および MGO と比較し、AVOA および GTO と同等のパフォーマンスを示します。また、Wilcoxon サムランク統計テストの結果から、最新の 2 つの優れたアルゴリズム、つまり FFA、MGO、および AZOA に対する AZOA の有意な統計的優位性が明らかになります。 CEC-2005 ベンチマーク集合関数を解く際の AZOA と競合アルゴリズムのパフォーマンスの箱ひげ図を図 14 に示します。箱ひげ図の結果の分析は、提案された AZOA 手法が \(\mathrm{F}1{ -}\mathrm{F}4\)、\(\mathrm{F}7\)、\(\mathrm{F}9{-}\mathrm{F}11\)、\(\mathrm{F}14 {-}\mathrm{F}19\) 関数と \(\mathrm{F}21{-}\mathrm{F}23\) 関数は、競合するアルゴリズムと比較して 3 番目に優れたオプティマイザーです。

CEC-2005 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2005 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの箱ひげ図。

AZOA と 4 つの最新の優れたアルゴリズムを採用した CEC-2017 ベンチマーク関数の統計結果を表 13 と 14 に示します。シミュレーション結果から結論付けられることは、提案された AZOA 手法は \( \mathrm{F}1\)、\(\mathrm{F}3\)、\(\mathrm{F}5{-}\mathrm{F}9\)、\(\mathrm{F}11\) 、\(\mathrm{F}14{-}\mathrm{F}17\)、および \(\mathrm{F}19{-}\mathrm{F}29\) 関数は、FFA と比較して同等の結果を提供します。ＭＧＯ。アルゴリズムの反復中に CEC-2005 関数の解を達成する際の AZOA と 4 つの最新の優れたアルゴリズムの収束曲線を図 15 に示します。シミュレーション結果の分析により、提案された AZOA 手法が関数のパフォーマンスの向上を示していることがわかります。 (\mathrm{F}1\)、\(\mathrm{F}13\)、\(\mathrm{F}30\) と他の関数の同等のパフォーマンス。 CEC-2017 ベンチマーク集合関数を解く際の AZOA と競合他社のアルゴリズムのパフォーマンスの箱ひげ図を図 16 に示します。

CEC-2017 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2017 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの箱ひげ図。

AZOA と 4 つの最新の優れたアルゴリズムを採用した CEC-2019 ベンチマーク関数の最適化結果を表 15 と 16 に示します。まず、AZOA を FFA と比較すると、関数 \(\mathrm{F}2 {-}\mathrm{F}4\)、\(\mathrm{F}6{-}\mathrm{F}8\)、\(\mathrm{F}10\)。次に、関数 \(\mathrm{F}2,\) \(\mathrm{F}3\)、\(\mathrm{F}6\)、\(\mathrm{F}7) でより良い結果が得られました。 \)、\(\mathrm{F}10\) を MGO と比較しました。第三に、関数 \(\mathrm{F}1\)、\(\mathrm{F}4\)、\(\mathrm{F}6\)、\(\mathrm を除く) を除き、AZOA は AVOA と比較してより良い結果をもたらします。 {F}8\)。最後に、AZOA は関数 \(\mathrm{F}2\)、\(\mathrm{F}3\)、\(\mathrm{F}7\)、\(\mathrm{F}8) に対して最良の結果を提供します。 \)、および \(\mathrm{F}10\)。したがって、AZOA は、最新の 4 つの優れたアルゴリズムと比較してパフォーマンスが優れています。実装されたアルゴリズムの収束グラフを図 17 に示します。これらの曲線から、AZOA がほとんどの関数に対して同等の収束を実行することが明らかです。図18では、関数を解くために提案されたAZOAとともに比較されたアルゴリズムの箱ひげ図が箱ひげ図として示されています。図 18 から、箱ひげ図の研究は、AZOA が競合他社のメタヒューリスティックアルゴリズムよりも幅が狭く、中心がより効率的であることを示しています。

CEC-2019 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの収束グラフ。

CEC-2019 ベンチマーク関数を解く際の AZOA と 4 つの最新の優れたメタヒューリスティックの箱ひげ図。

このパートでは、AZOA は、制約や混合整数などのさまざまな課題を提示する実際の工学問題に基づいて評価されます。これらの制約付きエンジニアリング最適化問題 (最小化の場合) は次のように表すことができます。

ここで、 \({g}_{i}\) と \({h}_{j}\) はそれぞれ不等式と等式制約を表します。 \({R}^{n}\) は、実体上の \(n\) 次元のベクトル空間を表します。 AZOA の目標は、制約を条件としてコスト関数 \(f(\overrightarrow{z})\) を最小化する実現可能な最適解を見つけることです。 AZOA でこれらすべての制約を処理するには、ペナルティ関数が使用されます。ペナルティ関数アプローチは、制約付きエンジニアリング最適化問題を再定義するために適用されます。その結果、式では、 (\(14\)) AZOA を適用したこれらの工学的問題の最適化は次のように表されます。

ここで、 \(S\) は実行可能な検索スペースを示します。このようなアプローチを適用する際、あらゆるレベルで制約に違反した個人には、大きな関数の最適値が割り当てられます。その結果、最適化フェーズ全体を通じて、アルゴリズムは実行不可能な解決策を自動的に排除します。このように、ペナルティ関数を適用することにより、制約付き問題を制約なし問題に変換することができる。

この工学設計の背後にある重要なアイデアは、3 つの非線形不等式制約と 1 つの線形不等式制約を考慮しながら、ばねの重量を最小限に抑えることです。ばねの幾何学的図形を図 19 に示します。この工学的問題には、ワイヤ直径 (\(d\) または \({z}_{1}\))、平均コイル直径 (\) を含む 3 つの連続的な決定変数があります。 (D\) または \({z}_{2}\))、およびアクティブなコイルの数 (\(K\) または \({z}_{3}\))。設計の数学的表現は次のように表されます。

引張または圧縮バネの設計に問題があります。

新しく提案された AZOA の結果は、PSO、GSA、SSA、TSA、MVO、GWO、LFD など、この問題にうまく取り組んできたよく知られたメタヒューリスティックアルゴリズムと比較されます。この比較の結果を表 17 に示します。これは、AZOA が効果的なソリューションを生成し、適切に設計できることを示しています。

この設計問題の主な目標は、図 20 に示すように、溶接、成形、材料のコストを含む圧力容器全体の価格を下げることです。この最適化設計には、シェルの厚さとして 4 つの設計変数があります (\ ({z}_{1}\) または \(Ts\))、頭部の厚さ (\({z}_{2}\) または \(Th\))、内半径 (\({z }_{3}\) または \(R\))、および容器の円筒部分の長さ (\({z}_{4}\) または \(L\))。この 4 つの計画変数の間では、\({z}_{3}\) と \({z}_{4}\) は連続的ですが、\({z}_{1}\) と \({ z}_{2}\) は離散的です (0.0625 インチの整数倍)。数学的には、圧力容器は次のように表されます。

圧力容器の設計上の問題。

AZOA の結果は、PSO、GSA、SSA、TSA、MVO、GWO、LFD などのよく知られたメタヒューリスティックアルゴリズムと比較されます。この比較の結果を表 18 に示します。これは、AZOA が円筒形圧力容器の総コストを削減することにより、この問題に対処する上で最良の結果をもたらしたことを示しています。

この設計の目的は、溶接梁の価格を可能な限り下げることです。溶接梁の図を図 21 に示します。この最適化問題には、棒の高さ \(({z}_{3} or t)\)、棒の厚さ \(({ z}_{4} または b)\)、溶接の厚さ \(({z}_{1} または h)\) およびバー接続部分の長さ、\(( {z}_{2} または l ).\) この問題を設計するために、次の数式が定義されています。

ここで \(\tau \left( {\vec{z}} \right) = \sqrt {(\tau^{\prime } )^{2} + 2\tau^{\prime}\tau^{\prime \プライム } \frac{{z_{2} }}{2R} + (\tau^{\prime \prime } )^{2} } , \tau^{\prime} = \frac{P}{{\ sqrt 2 z_{1} z_{2} }}, \tau^{\prime \prime } = \frac{MR}{J}\)

ここで \(P=6000lb, L=14in, E=30*{10}^{6}psi, G=12*{10}^{6}psi, {\tau }_{max}=\mathrm{13,600 }psi、{\sigma }_{max}=\mathrm{30,000}psi、{\delta }_{max}=0.25in\)。

溶接梁の設計上の問題。

表 19 は、AZOA と同じペナルティ関数を使用するいくつかのメタヒューリスティックアルゴリズムとの比較の結果を示しています。結果は、AZOA 法が溶接梁設計の最適値を特定する点で優れた性能を発揮することを示しています。

機械システムにおいて、ギアボックスの重要な部品の 1 つは減速機であり、これはさまざまな目的に適用できます。この最適化問題では 11 個の制約を使用して減速機の重量を軽減します。この問題には、顔の幅 \(b\left({z}_{1}\right)\)、歯のモジュール \(m\left({z}_{2}\right)\)、ピニオンの歯の数 \(x\left({z}_{3}\right)\)、ベアリング間の最初のシャフトの長さ \({l}_{1}\left({z}_{ 4}\right)\)、ベアリング間の 2 番目のシャフトの長さ \({l}_{2}\left({z}_{5}\right)\)、1 番目のシャフトの直径 \({d} _{1}\left({z}_{6}\right)\)、および 2 番目のシャフトの直径 \({d}_{2}\left({z}_{7}\right)\)減速機問題の数学的定式化は次のとおりです。

減速機の設計上の問題。

表 20 は、提案されたアルゴリズムの結果と、この問題に関する GWO、GSA、PSO、SSA、TSA、MVO、LFD などの他のアルゴリズムとの比較を示しています。シミュレーションの結果は、提案された手法、つまり AZOA が他のアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを示したことを示しています。

この構造問題の主な目的は、図 23 に示すような複合歯車列を作成するために歯車比を最小限に抑えることです。

歯車列の設計上の問題。

目的は、歯車比を最小限に抑えるために、列車の 4 つの歯車の最適な歯数を決定することです。歯車の歯数と同じ設計変数は次のとおりです: \({n}_{A}\left({z}_{1}\right)\), \({n}_{B} \left({z}_{2}\right)\)、\({n}_{C}\left({z}_{3}\right)\)、\({n}_{D }\left({z}_{4}\right)\)。歯車列の設計問題の数学的定式化は次のとおりです。

提案されたアルゴリズム、つまり AZOA の結果と、MFO35、ABC76、PSO32、CS77、MVO25、TSA41、WOA36 などの他のメタヒューリスティックアルゴリズムとの比較を表 21 に示します。表 21 のシミュレーション結果は、AZOA がアルゴリズムよりも優れていることを示しています。アルゴリズムを比較しました。

トラス設計の目標は、バー構造の重量を軽減することです。図 24 は、この問題のグラフィック構造を示しています。静的に荷重がかかる 3 バートラスの体積は、各トラス部材の応力 \(\left(\upsigma \right)\) 拘束を維持しながら、減らす必要があります。主な目的は、最適な断面積 \({\mathrm{A}}_{1}\left({\mathrm{z}}_{1}\right)\) と \({\ mathrm{A}}_{2}\left({\mathrm{z}}_{2}\right)\)。この設計問題の数学的定式化は次のとおりです。

3 バートラスの設計上の問題。

表 22 は、提案されたアルゴリズムの結果と、この問題に関する GOA38、MBA79、PSO-DE78、SSA37、MVO25、TSA41、AO43 などの他のアルゴリズムとの比較を示しています。結果は、提案された方法、つまり AZOA が比較されたアルゴリズムよりも優れたパフォーマンスを示したことを示しています。

風力エネルギーは、風車や風力タービンを介して風を利用することによって生成される電気エネルギーです。それは豊富に存在し、どこにでも存在するため、最も顕著な種類の再生可能エネルギー源の 1 つです。このエネルギーは適切に使用されると、大量の電気を生み出すのに役立ちます。風力エネルギーは、電力需要の増加に応えて最近人気を集めています。風力タービンを可能な限り最適な位置に設置することで、風力発電所の総エネルギー出力を最大化できます。風力発電所内に風力タービンを配置することは、上流の風力タービンによって下流の風力タービンに生じる後流損失などの側面を考慮する必要があるため、困難な作業です。後流損失を最小限に抑えて出力電力を増加させることは、このレイアウト最適化問題に適用されるさまざまな最適化アルゴリズムにとって課題となります。したがって、このセクションでは、AZOA アルゴリズムを使用して風力タービンの最適な位置を見つけ、キロワットあたりのコストを最小限に抑えて総電力出力を最大化します。可変風向 (VWD) を伴う一定風速 (CWS) と可変風向 (VWD) を伴う可変風速 (VWS) の 2 つの異なるケーススタディが実行されます。実験結果は、L-SHADE80、GA81、GA82、GWO83、BPSO-TVAC84、RSA85、および SBO86 を使用して実行された研究と比較されます。風力発電所のレイアウト問題の数学的モデリングは次のように扱われます。

風がタービンを通過すると、風の速度が低下し、乱流の強度が増大し、タービンの後ろに後流が残ります。後流は下流に移動し続けるだけでなく、横方向にも膨張します。下流に配置されたタービンは、後流効果により生成される電力が減少します。この研究では、後流ゾーンの風速の計算に Jensen 線形後流減衰モデル 87,88 が使用されています。図 25 は、線形航跡モデルの概略図を示しています。後流ゾーンの風速は、後流での勢いが維持されるという仮定を使用して推定されます。後流領域の風速は次の式で求められます。

ここで、w は後流効果、\({w}_{0}\) は後流の影響を考慮していない元の風速、a は軸方向の誘導係数、\({\beta }_{k}\) を表します。は ktℎ タービンに関するエントレインメント定数を示します。 \({z}_{i,j}\) は \({i}\) 番目のタービンと \({j}\) 番目のタービン間の距離です、 \ ({r}_{k1}\) は下流ローター半径、\({h}_{k}\) は \({k}\) 番目のタービンのハブ高さ、\({z}_{ 0}\) は風力発電所の表面粗さを示し、\({C}_{r}\) は風力タービンローターの推力係数を表します。

ジェンセンのリニアウェイクモデル。

単一のタービンが多数の後流に遭遇すると、結合された後流の運動エネルギーは、運動エネルギー不足の合計に等しいと考えられます。

\({N}_{x}\) タービンの下流にある \({i}\) 番目のタービンの合成速度は次の式で与えられます。

ここで、 \({w}_{ik}\) は、 \({k}\) 番目のタービンの影響を受けた \({i}\) 番目のタービンの風速を示します。線形航跡モデルの場合、航跡領域は円錐形であり、航跡ゾーンの半径は次の式で決定される航跡影響半径として定義されます。

\({i}\) 番目のタービンからの出力は \(kW\) で次のように計算されます。

ここで、 \(\rho\) は空気密度を表し、 \({C}_{p}\) はローターの効率を表します。

\(N\) 個のタービンを備えた風力発電所の合計出力は、式 1 で計算されます。 (29)。

どこ

出力電力 \(kW\) あたりのコストは次のように計算されます。

どこ

風力発電所の効率は次の式で計算されます。

ここで、 \({P}_{i,max}\) は、最大風速 \({w}_{i, max}\) の関数としての \({i}\) 番目のタービンの最大出力を表します。 ) 航跡効果がなく、 \({f}_{m}\) が特定の方向からの特定の風速の確率を表す場合。

この研究は、風力タービンを設置できる場所が 100 個ある 10 × 10 平方の風力発電所の分析に基づいています。すべての風力タービンはキュービクルの中央に配置されました。図 26 に示すように、各キュービクルの寸法は 200 m です。ロータの直径と等しいキュービクルを選択することで、隣接する別の柱と同じ柱内に配置されたときに後流が他のタービンに衝突するのを防ぐことができました。。この研究で採用された風力発電所のパラメータを表 23 に示します。提案された手法、つまり AZOA アルゴリズムは両方のケーススタディ (VWD を使用した CWS と VWD を使用した VWS) で実装され、結果が他の既存のアルゴリズムと比較されました。、L-SHADE80、GA81、GA82、GWO83、BPSO-TVAC84、RSA85、および SBO86 を含みます。各アルゴリズムは、母集団サイズ 200、最大反復数 100 を使用してモデル化されています。上限と下限はそれぞれ 1 と 0 に割り当てられ、問題のサイズは 100 に割り当てられます。

風力発電所のトポロジ。

最初のケースでは、\({0}^{^\circ }\) から \({360}^ までの範囲の 36 の角度を調査することにより、各方向からの風の流れが等しい確率で 12 m/秒の CWS が仮定されました。 {^\circ }\) 度 (\({10}^{^\circ }\) 単位)。この場合は、提案された AZOA が使用されます。AZOA アルゴリズムの結果と他のメタヒューリスティックアルゴリズムとの比較を表 24 に示します。表 24 から、同じ目的関数に対して AZOA が比較したアルゴリズムよりも優れていることがわかります。図 27 は、AZOA によって特定された最適な風力発電所構成を示しています。提案された AZOA アルゴリズムは、40 基のタービンから 17,920 kW の年間出力を生成し、kW あたりのコストは 0.0015340、効率は 86.42% です。

AZOA による VWD を使用した CWS 向けの最適な風力発電所構成。

ケース 2 における風力発電所の最適配置に関する提案手法の効率を検証するために、VWS と VWD を仮定します。この場合、8 m/s、12 m/s、および 17 m/s、0° から 360° まで 100° 刻みの 36 角度が考慮されます。この場合は、提案された AZOA が使用されます。AZOA アルゴリズムの結果と他のメタヒューリスティックアルゴリズムとの比較を表 25 に示します。表 25 から、同じ目的関数に対して AZOA が比較したアルゴリズムよりも優れていることがわかります。図 28 は、AZOA によって特定された最適な風力発電所構成を示しています。提案された AZOA アルゴリズムは、39 基のタービンから 0.00083218 のコスト/kW、86.78% の効率で年間 32,556 kW の電力出力を生成します。

VWDを備えたVWS向けAZOAによる最適な風力発電構成。

最後に、得られた結果は、両方のケーススタディで風力発電所のタービンを最適に構成する際の AZOA アルゴリズムの効率と妥当性を明らかにします。このアルゴリズムは他のアルゴリズムと比較してより良い結果をもたらしました。

電力システムの分野では、ELD は研究者が注目している問題の 1 つです。この問題の主な目標は、負荷需要とすべての電源ユニットのさまざまな動作上の制約を維持しながら、全体の燃料コストを削減するために、利用可能な発電ユニット間で必要な電力を可能な限り効率的に割り当てることです89,90。発電機の全体的な燃料コストは、一般に次のような二次関数を使用して表されます。

ここで、 \({u}_{i},v, {w}_{i}\) は \({i}\) 番目の生成器のコスト係数、 \({F}_{i}\) は\({i}\) 発電機のコスト、\({p}_{i}\) は \({i}\) 番目の発電機の発電電力、\(N\) は発電機の総数です。通常、発電機によって生成される電力の総供給量は、必要な量と送電線全体の損失の両方を満たすのに十分以上です。したがって、次の平等基準を満たす必要があります。

ここで、\({p}_{d}\) と \({p}_{l}\) はそれぞれ需要と総回線伝送損失を表します。伝送損失の求めにはクロンの損失公式を使用し、以下の形式で求めます。

この文脈では、\(B\) 項 \({B}_{ij}, {B}_{i0}\) および \({B}_{00}\) は損失係数と呼ばれます。発電機によって生成される全体の電力は、発電機の機能と制限により、それぞれの最大有効電力 \({p}_{max}\) と最小電力 \({p}_{min}\) によって制限されます。。そのため、各ジェネレーターは以下の基準に準拠する必要があります。

\({F}_{i}\) を、\({i}\) 番目の発電機でエネルギーを生成するコストとして代表させます。そして、総コスト \(C\) は \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\) として区切られます。コスト関数は主に、実際に生成された電力 \({p}_{i}\) の影響を受けます。したがって、発電ユニットの個別コスト \({F}_{i}\) を推定するために使用される変数は \({p}_{i}\) だけであり、総コスト \(C\) は明確に表現できます。 \(\sum_{i=1}^{N}{F}_{i}\left({p}_{i}\right)\) となります。

6 つの発電機を備えた IEEE-30 システムの構造を図 29 に示します。表 26 では、コスト係数 \(({u}_{i}\)、\({v}_{i}\)、および\({w}_{i})\) およびジェネレーターの制限制約 (\({p}_{imin}\)、\({p}_{imax})\) がレポートされます。表 27 には、指定されたシステムの係数行列 B が示されています。前述の問題は、AZOA を通じて解決され、600 MW、700 MW、および 800 MW の複数の異なる負荷に対して最もコスト効率の高い負荷ディスパッチが決定されます。ラムダ反復 91、二次計画法 92、GA93、PSO94 など、いくつかのよく知られたアルゴリズムが AZOA と比較されています。表 28、29、および 30 は、それぞれ 600 MW、700 MW、および 800 MW のニーズに対するアルゴリズムの比較結果を示しています。これらの表から、提案されたアルゴリズム AZOA が、比較されたすべてのアルゴリズムの中で最高の燃料コストを提供することがわかります。

30バスIEEEシステムの構造。

この研究は、野生のアメリカシマウマの社会的行動にヒントを得た、生物にインスピレーションを得た新しいメタヒューリスティックアルゴリズム、つまりAZOAを開発しました。この提案されたアルゴリズムの主なインスピレーションは、野生のアメリカシマウマのユニークで魅力的な社会的性格とリーダーシップの発揮であり、赤ちゃんシマウマが成熟する前に群れを離れ、家族関係のない別の群れに加わるよう誘導します。このグループから離れるプロセスにより、AZOA の多様性を確保するために親シマウマが子孫と繁殖することができなくなります。同様に、アメリカシマウマでは、群れの速度と方向を指示するリーダーシップの行使により、収束が保証されます。提案された AZOA コンセプトは、簡単な実装と優れたパフォーマンスを実現するために、5 つの単純なフェーズでモデル化および設計されています。 AZOA アルゴリズムの効率を評価するために、CEC-2005、CEC-2017、および CEC-2019 ベンチマーク関数が考慮され、いくつかの既存および最新の優れた進化アルゴリズムと比較されます。シミュレーション結果と統計分析により、AZOA が探索と活用のバランスを保ちながら、ベンチマーク機能を最大化するための最適なソリューションを達成できることがわかりました。さらに、提案された AZOA のパフォーマンスにアクセスするために感度分析が採用されています。さらに、いくつかの工学設計の最適化問題を解決する際の AZOA の実装により、現実世界の最適化問題における提案されたアルゴリズムの堅牢性が保証されました。提案された AZOA は、この記事で検討したほとんどのベンチマーク関数で優れたパフォーマンスを提供しましたが、古典的なアルゴリズムに対していくつかのマルチモーダルおよび複合問題を処理する場合、AZOA の優位性は顕著ではなく、FFA などの現代的なアルゴリズムに対しても平凡な結果しか得られませんでした。、MGO、AVOA、GTO。したがって、学習演算子の実装、適応重みパラメーターの導入、バイナリおよびマルチモーダルバージョンの設計などのいくつかの修正は、AZOA アルゴリズムの将来の研究作業の範囲になります。

この研究中に生成または分析されたすべてのデータがこの記事に含まれています。

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この研究活動は VIT 大学から資金提供を受けています。

ヴェールール工科大学、ヴェールール、タミルナードゥ州、632014、インド

サラダ・モハパトラ & プラブジット・モハパトラ

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SM: 概念化、方法論、執筆 - 原案。 PM: 概念化、方法論、監督、執筆 - レビューと編集。

プラブジット・モハパトラへの通信。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

Mohapatra, S.、Mohapatra, P. 大域的最適化問題のためのアメリカのゼブラ最適化アルゴリズム。 Sci Rep 13、5211 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-31876-2

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受信日: 2023 年 1 月 11 日

受理日: 2023 年 3 月 20 日

発行日: 2023 年 3 月 30 日

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